OPERADORES LOGICOS

1.1 CONJUNCIÓN.

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por:

  

P	Q	PᶺQ
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Tabla N°1. Tabla de la verdad conjunción, Si p ∧ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad. (Aguaguiña. M. Fuente Texto de matemáticas.)

 Ejemplo:

·         Trabajo mucho.

·         Recibo un Bajo Salario.

·         (a∧b) Trabajo mucho pero recibo un bajo Salario

DISYUNCIÓN.
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ´o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ´o q lo es.

  

P	Q	PVQ
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

                                     

Tabla N°2. Tabla de verdad Disyunción. Explica si p ∨ q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ∨ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas. (Alvarado. S. Fuente texto de matemáticas.)

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p ´o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p ´o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas.

Por ejemplo, la proposición “El ira a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este tipo de disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.

Ejemplo:

o   El ira a Madrid

o   El ira a Bilbao

o   (aVb) El ira a Madrid o a Bilbao.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Dadas dos proposiciones cualesquiera p ⊻ q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p ´o q pero no ambos” y la notaremos p ⊻ q. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p ⊻ q será verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto

P	Q	P ⊻Q
V	V	F
V	F	V
F	V	F
F	F	V

Tabla N°3. Tabla de verdad disyunción exclusiva. Explica si p ⊻ q es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si p ⊻ q es falsa, sólo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad. (Aguaguiña M. Cuaderno de matemáticas.)

NEGACIÓN
Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

La tabla de verdad de esta nueva proposición, ¬p, es:

P	¬P
V	F
F	V

Tabla N°4. Tabla de verdad conjunción negativa. Explica el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original. (López F. fuente texto de matemáticas.)

1.      Ejemplo.

Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

p1: El Pentium es un microprocesador.

p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.

p3: El Pentium no es un microprocesador.

2.      Ejemplo:

p4: 2 + 2 = 5

p5: Es falso que 2 + 2 = 5

p6: 2 + 2 = 4

3.      Solución.

p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.

p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.

Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:

p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.

p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.

CONDICIONAL

Proposición Condicional Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“si p, entonces q”

Se le llama “proposición condicional” y se nota por

p → q

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa ´únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).

De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es:

P	Q	P —›Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Tabla N°5. Tabla de verdad condicional explica si p → q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdades, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p → q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.  (López F. Fuente texto de matemáticas.)

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

“p soló si q”.

“q si p”.

“p es una condición suficiente para q”.

“q es una condición necesaria para p”.

“q se sigue de p”.

“q a condición de p”.

“q es una consecuencia lógica de p”.

“q cuando p”.

  EL BICONDICIONAL

 Ya vimos que (p→q) no es lo mismo que (q→p). Puede ocurrir, sin embargó, que ambos (p→q) y (q→p) son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2," entonces (p→q) y (q→p) ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La proposición (p ↔ q) se define como la proposición (p→q)(q→p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el Bicondicional. Obtenemos la tabla de verdad para (p ↔ q) construyendo la tabla para (p→q)(q→p), que nos da lo siguiente.

El Bicondicional (p ↔ q), que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se define por la siguiente tabla de verdad.

  

p	q	p↔q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla N°6. Tabla de verdad bicondicional Explica que si P y Q son verdaderas el bicondicional es verdadero y si P Y Q son falsas es verdadero caso contrario todos son falsos.  (Alvarado S. Cuaderno de matemáticas.)

 CONJUNCIÓN NEGATIVA.

Es la unión de dos o más preposiciones por el conectivo lógico (ni) se lee ni p ni q

P	Q	P ↓ Q
V	V	F
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla N°7. Tabla de verdad conjunción negativa Explica que si P y Q son falsas la proposición es verdadera. (Aguaguiña M. Fuente Texto de matemáticas.)